Matematika Model : Pi

Portofolio 3                : Revisi Senin, 07 Maret 2016

Dosen Pengampu      : Prof. Dr. Marsigit, M.A

Mata Kuliah              : Matematika Model

Phi

Fitriani, S.Pd

15709251067

A.    Pendahuluan struktur phi

Di dunia ini terdiri dari milyaran pangkat semilyar tak terhingga banyaknya struktur yang dari yang ADA dan yang MUNGKIN ADA. Dimana setiap struktur yang satu dengan struktur yang lain memiliki hubungan keterikatan yang melahirkan struktur yang baru, struktur yang baru berhubungan dengan struktur yang lainnya melahirkan struktur yang baru lagi begitu seterusnya. Begitulah alur perkebangan ilmu pengetahuan dari sebuah struktur yang berkembang dari waktu ke waktu.

Struktur yang tak terhingga banyaknya tentunya tidak akan mampu saya sebutkan satu persatu karena keterbatasannya kemampuan saya sebagai manusia untuk memikirkannya. Oleh sebab itu untuk menggali lebih dalam sebuah struktur diperlukan telaah yang terfokus kepada suatu core atau DNA yang dikembangkan serta ditelaah lebih detail sehingga strukturnya ditemukan lebih kompleks dan mampu dipahami.

Salah satu core atau DNA struktur yang akan dibahas pada portofolio kali ini adalah struktur bilangan phi yang disimbolkan π sebagai sebuah bilangan yang sangat penting dalam perhitungan luas serta keliling sebuah lingkaran. Sebagaimana kita ketahui dimuka bumi ini banyak sekali lingkaran-lingkaran yang ditemui di sekitar kita. Lingkaran yang tentunya tersusun oleh beberapa banyaknya unsur dari yang ADA dan yang MUNGKIN ADA. Unsur ADA dalam sebuah lingkaran dimulai dari titik, garis, diameter, jari-jari, tali busur, phi dan sebagaianya.

Lingkaran yang kita pelajari di di sekolah merupakan REDUKSIFISME dari alam semesta. Alam semesta yang berbentuk Bola dimana bola itu sendiri merupakan PERMENIDESIANISME lingkaran dari dimensi tiga ke dimensi dua. Namun, perubahan dimensi ini tidak terjadi keseluruhan disebabkan disisi yang lain  dari perubahan dimensi itu bersifat tetap yang disebut HERACLITOS. Heraclitos bola ke lingkaran salahsatunya adalah bilangan π (dibaca phi). Bilangan π yang tentunya sangat penting dalam perhitungan luas dan keliling lingkaran.

Penggunaan bilangan π tentunya bersifat RELATIFISME bergantung pada objek yang menggunakannya. Hal ini disebabkan ketakhinggaan nilai dari bilangan π tersebut sehingga pembulatan yang digunakan bergantung kepada kebutuhan objek yang menggunakannya. Bilangan π yang ada di dalam pikiran bersifat IDENTITAS walaupun tak terhingga banyaknya.

Ketakhinggaan nilai π jika dituangkan dalam dimensi filsafat mengajarkan kita makna dari sebuah kehidupan. Berawal dari dimensi MATERIAL yaitu berupa penggunaan bilangan π tersebut dalam perhitungan benda-benda yang berbentuk lingkaran yang sering kita temui, kemudian ke tahap dimensi FORMAL pada perhitungan lingkaran dalam penyelesaian soal matematika, kemudian ke tahap dimensi NORMATIF pada penggunaan bilangan π di teknologi komputer sampai kepada dimensi SPIRITUAL mengajarkan kita bahwa adanya katakhinggaan menyebabkan kita sebagai manusia harus terus berusaha dan ada batas dimana manusi tidak mampu untuk melampauinya. Hanyalah sang KAUSA PRIMA Tuhan Pencipta Alam semesta yang mengetahuinya. Manusia sebagai kaum yang mensinergikan FATAL dan VITALISMEnya kehidupan hal ini sebagai WADAH untuk tesis dan anti-tesisnya ilmu pengetahuan sehingga tercipta pengetahuan baru.

B.     Kronologis sebelum munculnya bilangan π

Pada zaman dahulu kala menurut catatan sejarah dari tahun 2600 SM (saat Piramida Besar dibangun) hingga tahun 575 SM (Puncak peradaban Babilonia) orang Mesir Kuno dan Babilonia (Mesopotamia) dikenal sebagai ahli ukur bumi (geo-meter). Pada masa tersebut pengukuran digunakan untuk batas-batas tanah kepemilikan sebagaimana halnya zaman sekarang, tanah merupakan harta yang berharga. Pada masa tersebut batas-batas tanah kepemilikan dilakukan dengan cara sederhana yaitu dengan peletakan batu di setiap sudutnya. Namun, ketika hujan deras turun batu-batu tersebut hilang ataupun berpindah terbawa arus sehingga batas tanahnya menjadi terhapus. Akan tetapi bentuk tanah kurang lebih masih diingat bentuknya seperti berbentuk persegi, persegi panjang dan sebagainya. Disinilah cikal bakal ilmu ukur Geometri tumbuh dan berkembang. Geometri digunakan untuk menghitung luas tanah kepemilikan walaupun masih satuan berupa hasta (panjang satu tangan orang dewasa dari sikut ke ujung jari). Dari waktu ke waktu sehingga ditemukanlah rumus-rumus bangun-bangun datar yang beraturan seperti rumus persegi, persegi panjang, segitiga serta penentuan sisi serta sudut sebuah bangun datar.

 

Sehingga sampailah pada suatu bangun yang berbentuk lingkaran dimana mereka kebingungan menghitung luasnya walaupun keliling lingkaran masih bias di ukur dengan bantuan tali atau semacamnya. Namun mereka belum menemukan rumus yang tepat untuk menentukan luas semua lingkaran. Sampai ketika ditemukannya Kitab Raja-raja Perjanjian Lama yang berisi Rekaman Bangsa Semit dan Israel pada millennium kedua dan pertama Sebelum Masehi (SM), terdapatnya sebuah ayat yang bercerita tentang sebuah bangunan berbentuk lingkaran, yang lebarnya dari tepi ke tepi sama dengan 10 hasta dan kelilingnya dinyatakan kira-kira sama dengan 30 hasta. Di sini, lingkaran ditaksir dengan segi-enam ber-aturan. Suatu taksiran yang masuk akal, tetapi sangat kasar.

Walaupun belum ditemukannya rumus yang tepat untuk mengukur luas lingkaran, satu hal telah diketahui bahwa luas dan keliling lingkara bergantung kepada jari-jari atau diameternya. Semakin besar diameternya  tentu akan semakin besar pula luas dan keliling lingkaran tersebut. Sampai ditemukannya gulungan Papirus Matematika di Luxor, Mesir oleh Alexandria Hendry Rhind pada tahun 1858 tercantum rumus luas lingkaran L =  dengan R adalah jari-jari lingkaran.

            Lingkaran yang dari masa ke masa yang masih menjadi sebuah misteri dalam perhitungan luasnya sehingga sampailah pada masa Archimedes. Archiedes yang membuktikan rumus luas lingkaran dengan memotong-motong lingkaran lalu menyusunnya kembali sehingga terbentuklah bangun yang menyerupai persegi panjang sebagai berikut:

                

Dari pemotongan tersebut ditemukanlah rumus menghitung rumus lingkaran dengan pendekatan luas persegi panjang, namun terjadi lengkungan di panjangnya sehingga diperlukanlah sebuah pendekatan di lengkungan tersebut. Lengkungan inilah yang menjadi asal muasal timbulnya bilangan π.

C.    Sejarah penemuan π

Bilangan π (dibaca phi atau pi) adalah merupakan bilangan yang mewakili perbandingan keliling lingkaran dengan diameter lingkaran. Jadi nilai π merupakan panjang keliling lingkaran yang berdiameter 1 satuan. Misalkan kita mempunyai sebuah lingkaran yang berdiameter 1 meter kemudian mengukur kelilingnya dengan seutas tali, maka panjang tali yang dibutuhkan untuk kelilingnya sebesar nilai π yaitu 3,14159… meter. Nilai π bukanlah bilangan bulat namun bilangan desimal yang lebih dari 3 yang memiliki angka dibelakang koma tak terhingga banyaknya. Bilangan π ini sering dibulatkan 3,14 atau

Lambang bilangan π berasal dari huruf Yunani. Asal mula perhitungan perhitungan bilangan π telah berusia sangat lama. Sejarah mencatat, bangsa Babilonia sekitar 4000 SM secara tidak langsung menggunakan nilai  untuk nilai π dari Prasasti Susa. Papirus Ahmes atau Rhind (1650 SM) telah menggunakan nilai  ≈ 3,16049382…. Untuk nilai  π.

Perhitungan teoritik pertama kali berasal dari Archimedes (287-212 SM), dengan menggunakan keliling polygon luar dan polygon dalam suatu lingkaran dan menemukan nilai . Lalu pada tahun 100 M, Claudius Ptolemaeus atau Ptolemy (k.100-170)  astronom dan ahli geografi dari Alexandria menghitung busur pada sudut 1° mendapatkan nilai  ≈ 3,14166 dengan menggunakan segi-360 beraruran. Pada 480 M, Tsu Chung Chih atau Zu Chongzhi (429-500) berhasil menemukan nilai  yaitu  = 3,145929 dengan menggunakan segi-12288 beraturan. Sementara Aryabhata I pada tahun 530 M menggunakan  = 3,1416 untuk nilai . Al-Kasyi tahun 1430 M yang merupakan penemu/perintis bilangan desimal menemukan nilai  hingga 16 desimal dibelakang koma yaitu = 3,142831853071795865 dengan menggunakan segi-6 x  beraturan. Lalu pada tahun 1596 M, Viete dengan bantuan rumus setengah sudut mendapat mentuk deret   =  Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) pada tahun 1610 dengan cara Archimedes hingga sebanyak  sisimendapatkan nilai  hingga 35 tempat desimal yang kemudian dikenal sebagai Bilangan Ludolphian.

Pada tahun 1621 M, Willebord Snell (1580-1626) menemukan nilai dengan cara yang lebih cepat yaitu dengan penggunaan geometri hinggga 35 tempat desimal. John Wiallis pada 1650 menggunakan deret bilangan  = . lalu pada tahun 1671, James Gregory (1638-1675) menggunakan hubungan trigonometri untuk mendapatkan rumus  = 1 -  +  -  + …. Deret ini belum benar-benar membantu, untuk menghitung hingga 4 desimal  saja dibutuhkan 10.000 suku. Pada tahun 1706 John Machin (1680-1751) menemukan rumus lain, tetapi kurang membantu. Tahun 1873, Shanks (1812-1882) menghitung hingga 707 desimal, tetapi segera diketahui desimal ke 528 tidak benar, sehingga ia hanya berhasil menghitung 527 desimal. Lalu Comte de Buffon (1707-1788) pada tahun 1760 untuk pertama kali menggunakan peluang untuk menentukan nilai  yaitu lewat P =  (peluang batang L menyetuh garis bila dilontar ke bidang yang memuat garis-garis sejajar dengan jarak sejauh a).

Pada tahun 1761 John Lambert (1728-1777) membuktikan bahwa bilangan  merupakan bilangan Irrasional yang pertama kali. Lalu pada tahun 1882, giliran Ferdinand von Lindemann (1852-1939) membuktikan bahwa  transendental. Lambang  sendiri pertama kali digunakan oleh William Jones (1675-1749) tahun 1706, dan populer lewat tangan Euler. Euler pulalah yang mengemukakan masalah apakah  irasional dan apakah  aljabar pada tahun 1755.

Bilangan  merupakan bilangan Irrasional disebabkan angka-angka di bielakang koma cenderung tidak beraturan dan tidak berhenti atau pun berulang. Hal ini berbeda dengan bilangan rasional ½ dan 1/3 yang mempunyai bentuk desimal 0,5 (yang berhenti) dan 0,333…(yang berulang).

Perhitungan dengan komputer dimulai tahun 1949 M oleh ENIAC, komputer generasi awal, di mana dalam tempo 70 jam berhasil menghitung hingga 2037 desimal. Dengan menggunakan superkomputer dan pemilihan rumus yang tepat, kini kita dapat menghitung secara lebih cepat. Pada bulan Juni 1995, matematikawan Jepang, Yasumasa Kanada menemukan bilangan  teliti hingga 3.221.220.000 tempat desimal. Walaupun secara teoritis kita dapat menghitung dengan desimal hingga berapapun, tetapi patut dicatat bahwa bilangan  hingga 39 tempat desimal saja sudah mencukupi untuk menghitung keliling lingkaran bola dengan jari-jari satu milyar tahun cahaya (jarak beberapa galaksi), dengan ketelitian yang sama untuk ukuran jari-jari atom hydrogen. Penemuan nilai  terakhir tercatat sebagai berikut:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067082148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800…

Pada tahun 2002, Yasumasa Kanada dan beberapa koleganya dari Universitas Tokyo, membukukan rekor dengan 1,2411 triliun angka. Rekor ini bertahan selama tujuh tahun. Pada tahun 2010, Shigeru Kondo (insinyur dari Jepang) dan Alexander Yee (ahli komputer dari Amerika Serikat) berhasil menghitung nilai π hingga 5 triliun angka, dan tiga tahun kemudian mereka mencetak rekor baru dengan 12,1 triliun angka.

Sumber

https://id.wikipedia.org/wiki/Pi

Marsigit. Online. http://powermathematics.blogspot.co.id

Sumardyono. Sejarah Beberapa Topik Aritmetika. Online (http://p4tkmatematika.org/file/ARTIKEL/Artikel%20Matematika/SEJARAH%20BEBERAPA%20TOPIK%20ARITMETIKA_SUMARDYONO%20VALyl.pdf). Diakses 11 Maret 2016.

Gunawan, Hendra. Gara-gara Hantu Lingkaran. Online. (http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2013/05/Bab-6-Menguak-Misteri-Bilangan-Pi_ver3.pdf). Diakses 11 Maret 2016.